Výrobková politika podniku
Minimalizace nákladů
Předpokládejme, že firma využívá výrobní faktory x1 a x2 a vyrábí produkt q, přičemž objem výroby je definován produkční funkcí f(x) = q a výše výrobních nákladů je dána nákladovou funkcí n(x) = c1x1 + c2x2, kde c1, c2 jsou ceny výrobních faktorů.
Úkolem minimalizace nákladů firmy je tedy nalézt takový vektor spotřeby výrobních faktorů x1, x2, který umožní vyrobit požadované množství výrobků y při minimální úrovni výrobních nákladů: n(x) = c1x1 + c2x2 → min za omezení f(x) = q. Graficky můžeme tuto situaci znázornit takto:
x2
x2 x*
–
x1 x2
Každý bod přímky x1x2 odpovídá určité kombinaci spotřeby výrobních faktorů se stejnou hodnotou nákladů. Tuto přímku nazýváme izopřímka nákladů – přímka, která reprezentuje všechny kombinace vstupů odpovídající stejné úrovni nákladů. Křivka představuje produkční rovnici. Optimálnímu řešení úlohy odpovídá bod x*, který je bodem dotyku produkční izokvanty f(x) a izopřímky nákladů n(x).
Rovnici izopřímky nákladů můžeme upravit do směrnicového tvaru přímky:
x2 = – (c1 / c2) * x1 + n(x) / c2
Takže směrnice izopřímky nákladů je pro kladné ceny vždy záporná a platí tg α = – c1 / c2.
Nákladovou funkci můžeme minimalizovat dvěma způsoby:
- Minimalizovat náklady na vstup – v bodě minimální spotřeby výrobních faktorů při dané úrovni výstupu je marginální produkt variabilního vstupu odpovídající jedné koruně výdajů na tento vstup stejný pro všechny vstupy:
m1(x1, x2) / c1 = m2(x1, x2) / c2 - Optimalizovat substituci vstupů – hraniční míra technické substituce prvního výrobního faktoru za druhý výrobný faktor v minimálním bodě nákladů při fixním objemu produkce je rovna opačnému poměru cen výrobních faktorů:
− dx2/dx1 = (−∂f/∂x1) / (−∂f/∂x2) = c1 / c2
Nákladové funkce a jejich vlastnosti
Pro konkrétní ceny vstupů odpovídají různé izokvanty různým výrobním nákladům i v rámci optimální proporcionality mezi výrobními faktory. Každá izokvanta koresponduje s jinou úrovní výstupu a izopřímka nákladů, která se dotýká „vyšší“ produkční izokvanty, implikuje „vyšší“ náklady, a to i za předpokladu, že firma využívá kombinaci vstupů minimalizující náklady. Jelikož náklady výroby rostou, při zkoumání „vyšší“ izokvanty je užitečné vyjádřit náklady firmy pomocí nákladové funkce n(q), která přímo vyjadřuje náklady firmy jako funkci objemu výroby. Tato funkce však musí garantovat takovou výši nákladů pro objem výroby q, které odpovídají minimálním nákladům. Funkce n(q) se nazývá nákladová funkce a ve své nejvšeobecnější podobě má tvar:
n(q) = nv(q) + nF
- q – objem produkce
- nv(q) – funkce variabilních nákladů
- nF – fixní náklady
Tato funkce je mimořádně důležitá, protože poskytuje základní informace pro určení úrovně výstupu maximalizujícího zisk. Nákladová funkce zároveň shrnuje informace o výrobním procesu a redukuje množství informací potřebných manažerem při rozhodování o optimálním výstupu firmy. Je samozřejmé, že nákladová funkce musí pro daný objem výroby q odpovídat minimálním nákladům nezbytným na pořízení výrobních faktorů za daných cenových podmínek. Nákladová funkce je tedy de facto řešením optimalizační úlohy ve tvaru:
n(q) = min n(x) + nF za omezení f(x) = q
Krátkodobé náklady
„Krátkodobost“ – období, během kterého jsou některé vstupy fixovány. Z krátkodobého hlediska lze volně měnit spotřebu variabilních vstupů, ale nelze modifikovat úroveň fixních vstupů, tj. fixní náklady se nemění při změně výstupu. Náklady, které se mění s objemem výroby, jsou variabilní náklady. Celkové krátkodobé náklady na výrobu výstupu se skládají z nákladů fixních vstupů a nákladů variabilních vstupů. Tyto dvě položky jsou známé jako krátkodobé fixní náklady a krátkodobé variabilní náklady.
Za existujících fixních výrobních faktorů krátkodobá nákladová funkce
n(q) = nv(q) + nF
vyjadřuje minimální možné náklady výroby každé úrovně výstupu za předpokladu, že variabilní vstupy jsou využívány nákladově optimálně.
Obrázek graficky ilustruje typické vztahy mezi celkovými náklady n(q), variabilními náklady nv(q) a fixními náklady nF. Protože fixní náklady se nemění s objemem výstupu, jsou konstantní při každé úrovni výstupu a musí být hrazeny i v případě, že se nevyrobí ani jedna jednotka produkce. Naopak variabilní náklady jsou nulové, pokud se nevyrábí, ale rostou s růstem objemu výstupu. Celkové náklady jsou součtem fixních a variabilních nákladů. Rozdíl mezi křivkou celkových nákladů a křivkou variabilních nákladů na obrázku představují fixní náklady.
Průměrné a marginální náklady
Často se uvádí, ač ne vždy přesně, že velké firmy mají nižší náklady než menší firmy, protože vyrábějí větší objemy výstupu. Zjednodušeně řečeno, ke zvýšení výroby nejsou spotřebovány všechny výrobní faktory ve větších objemech, ale existují faktory, jejichž spotřeba se nemění a jejich nákladový podíl na jednotkovém výstupu se v důsledku rozpočítání nákladů na větší počet výrobků snižuje. Tento jev souvisí s koncepcí průměrných fixních nákladů – fixní náklady vydělené počtem jednotek výstupu, která je matematicky vyjádřena takto:
npF(q) = nF / q pro q ∈ (0, ∞)
Protože fixní náklady se nemění s objemem výstupu, musí se při vyšším množství výstupu rozpočítat na větší množství jednotek. Následkem toho průměrné fixní náklady klesají úměrně růstu výstupu.
Vývoj variabilních nákladů lze přesněji charakterizovat pomocí kategorie průměrných variabilních nákladů, které představují podíl variabilních nákladů na jednotku produkce. Funkce průměrných variabilních nákladů má tvar:
npV(q) = nv(q) / q pro q ∈ (0, ∞)
Průměrné celkové náklady jsou součtem průměrných variabilních nákladů a průměrných fixních nákladů, tedy vyjadřují podíl celkových nákladů na jednotku výstupu, což je formulováno vztahem:
np(q) = n(q) / q = npF(q) + npV(q)
Velmi důležitým analytickým konceptem nákladové analýzy jsou marginální náklady – náklady firmy potřebné na výrobu jedné dodatečné jednotky výstupu, tj. prírůstek nákladů odpovídající poslední či dodatečné jednotce produkce:
nm = ∂n / ∂q
Způsob výpočtu marginálních nákladů (za předpokladu, že nákladová funkce n(q) je analyticky specifikována, spojitá a diferencovatelná):
nm(q) = dn(q) / dq
Obrázek níže zobrazuje průměrné celkové, průměrné variabilní, průměrné fixní a marginální náklady za předpokladu, že výstup je nekonečně dělitelný a firma není limitována konkrétními úrovněmi výroby, tedy může vyrábět libovolný objem výstupu. Vztahy mezi nákladovými křivkami jsou zásadní. Křivka marginálních nákladů protíná křivky průměrných variabilních a průměrných celkových nákladů v jejich minimálních bodech. Z toho vyplývá, že pokud jsou marginální náklady pod průměrnými náklady, průměrné náklady klesají, a naopak, pokud marginální náklady převyšují průměrné náklady, tyto rostou.
Dále si povšimněme, že křivky průměrných celkových a průměrných variabilních nákladů se postupně vzájemně přibližují s růstem rozsahu výroby. Je to způsobeno tím, že rozdíl mezi nimi, reprezentovaný průměrnými fixními náklady, se snižuje, jak se fixní náklady rozdělují na stále větší počet vyrobených jednotek.
Dlouhodobé náklady
V rámci dlouhodobého časového horizontu jsou všechny náklady variabilní, protože lze podle potřeby měnit úroveň spotřeby všech vstupů.
Na obrázku jsou znázorněny krátkodobé křivky celkových průměrných nákladů np1(q), np2(q) a np3(q). Křivka dlouhodobých průměrných nákladů npL(q) je nejnižší obalovou křivkou všech krátkodobých křivek průměrných nákladů, tj. leží pod všemi body na křivkách krátkodobých průměrných nákladů a dotýká se každé z nich v bodech, kde tyto křivky využívají fixní náklady optimálně.
Křivka dlouhodobých průměrných nákladů je konvexní, což znamená, že z dlouhodobého hlediska může průběh funkce průměrných nákladů firmy vykazovat následující dva trendy pro konkrétní typy výrobních technologií:
- Průměrné výrobní náklady firmy nejprve klesají s růstem produkce, poté dosáhnou minima a následně začínají růst – pro objem produkce v intervalu od 0 do q* dochází k úsporám z rozsahu výroby (firma může vyrábět větší objem výstupu při nižších průměrných dlouhodobých nákladech), ale po překročení bodu q* dochází ke ztrátám z rozsahu výroby (další zvýšení výstupu zvyšuje průměrné náklady).
- Průměrné výrobní náklady zůstávají konstantní při změně objemu výroby – některé průmyslové technologie umožňují firmě vyrábět různé objemy výstupu při stejných minimálních průměrných nákladech, což je známé jako konstantní výnosy z rozsahu.
Nákladová funkce s n proměnnými
Dosud jsme analyzovali výrobní proces firmy vyrábějící jeden výstup. Existuje však mnoho firem, které vyrábějí více produktů. Pokud chceme aplikovat produkční a nákladovou analýzu firmy vyrábějící jeden výrobek na firmu s více výrobky, je třeba řešit další problémy.
Víceproduktová nákladová funkce vyjadřuje celkové náklady N na výrobu zadaných úrovní dvou či více výstupů za předpokladu efektivního využití všech vstupů. Má tvar:
N = n(q) = n(q1, q2, …, qm)
- m – počet výrobků firmy
- q – vektor objemů produkce jednotlivých výrobků
- n(q) – nákladová funkce
Víceproduktová nákladová funkce má stejné základní vlastnosti jako jednoproduktová, liší se však tím, že náklady výroby závisí na každém typu výstupu. Proto je nezbytné zavést pojmy:
- Úspory ze sortimentu: projeví se, jestliže jsou celkové náklady společné výroby dvou či více výrobků nižší, než součet nákladů jejich samostatné produkce, tj. pokud platí
n(q1, 0) + n(0, q2) > n(q1, q2) - Náklady komplementarity: pokud růst marginálních nákladů jednoho výrobku souvisí s poklesem výroby druhého výrobku. Pro víceproduktovou nákladovou funkci n(q1, q2) a marginální náklady nm(q1, q2) platí, že při růstu produkce druhého výrobku klesají marginální náklady prvního výrobku:
∂nm(q1, q2) / ∂q2 < 0
