Páka a likvidace: praktická matematika rizika

Přehled: co je páka, marže a likvidace

Páka (leverage) umožňuje otevřít větší pozici, než je váš vlastní kapitál (kolaterál). V praxi jde o poměr velikosti pozice k počáteční marži (initial margin, IM). Likvidace je nucené uzavření pozice burzou, když vlastní kapitál v pozici klesne pod požadovanou udržovací marži (maintenance margin, MM). V kryptoderivátech se typicky obchoduje na perpetual futures, kde pozice mohou být páčené a jsou průběžně oceňovány mark price.

Základní pojmy a notace

• Velikost pozice (Q): nominál v base nebo quote měnové jednotce (např. 1 BTC nebo 50 000 USDT).
• Vstupní cena (P₀): cena kontraktu při otevření.
• Mark price (P): referenční cena pro PnL a likvidaci.
• Počáteční marže (IM): kolaterál potřebný k otevření; při páce L platí IM = Notional / L.
• Udržovací marže (MM): minimální vlastní kapitál, aby pozice zůstala otevřená; typicky procento z notionalu: MM = m · Notional, kde m je udržovací procento.
• Vlastní kapitál (Equity): Equity = Collateral + Unrealized PnL.
• Cross vs. Isolated: při isolated kryje ztráty jen přidělený kolaterál této pozice; při cross se sdílí celý zůstatek účtu.

Matematika PnL při perpetual futures

Při lineárním kontraktu denominovaném v USDT/USDC platí pro long pozici (symetricky pro short):

Realizovaný/nerrealizovaný PnL: PnL = Q · (P − P₀)

Kde Q je počet kontraktů v quote denominaci (např. 1 BTC ekvivalent znamená nominál Q = 1 a jednotky PnL v USDT). Při inverse kontraktech (denominovaných v BTC) se vztahy liší (viz níže).

Kriterium likvidace: když Equity klesne pod MM

Likvidace nastane, když Equity ≤ MM + poplatkový buffer. Při zjednodušení bez poplatků a s isolated marží:

Collateral + Q · (P − P₀) = m · |Q| · P

Pro long pozici (Q > 0) a lineární kontrakt vyřešíme na likvidační cenu P_liq:

Pliq = (P₀ · Q − Collateral) / (Q − m · |Q|) = (P₀ − Collateral/Q) / (1 − m)

Intuitivně: čím vyšší kolaterál a nižší udržovací procento m, tím nižší (bezpečnější) likvidační cena pro long.

Praktický příklad (lineární USDT kontrakt, isolated)

1. Kapital: Collateral = 1 000 USDT, plánovaná páka L = 10×.
2. Otevřete long na BTCUSDT při P₀ = 50 000. Notional: Notional = L · Collateral = 10 000 USDT.
3. Velikost v BTC: Q = Notional / P₀ = 10 000 / 50 000 = 0,2 BTC.
4. Nechť udržovací procento m = 0,5 % = 0,005.

Dosadíme do vzorce:

Pliq = (P₀ − Collateral/Q) / (1 − m) = (50 000 − 1 000/0,2) / 0,995 = (50 000 − 5 000) / 0,995 ≈ 45 226

Likvidace přibližně při 45 226 USDT (v praxi o něco výše kvůli poplatkům, funding a „insurance buffer“ burzy).

Bankruptcy price vs. liquidation price

• Bankruptcy price je teoretická cena, kdy váš vlastní kapitál klesne přesně na nulu (Equity = 0).
• Liquidation price je vyšší (pro long) resp. nižší (pro short) než bankruptcy price, aby systém udržel rezervu pro uzavření pozice a poplatky. Proto se likvidace spouští dříve.

Pro long, pokud zanedbáme MM a poplatky: Pbankr = P₀ − Collateral/Q. V našem příkladu Pbankr = 50 000 − 5 000 = 45 000, což je nižší než vypočtená Pliq ≈ 45 226.

Inverse kontrakty: odlišné vzorce

Při inverse (např. BTC margined) je PnL v BTC a vztah je nelineární:

• Notional v USD: Notional = Q · (1/P) při určitých definicích ticku; často se uvádí PnL (BTC) = ContractSize · Q · (1/P − 1/P₀).
• Likvidace se řeší z rovnice Equity (BTC) = Collateral (BTC) + PnL (BTC) ≤ MM (BTC), přičemž MM je procento z notionalu přepočítané do BTC.

Praktický důsledek: při inverse kontraktech růst volatility a pokles ceny base assetu zvyšují riziko likvidace rychleji, než by naznačoval lineární model, protože kolaterál i PnL jsou ve stejném volatilním aktivu.

Cross marže: sdílené riziko účtu

Při cross režimu platí: Equityaccount = Σ Collateral + Σ Unrealized PnL. Pozice si vzájemně „pomáhají“ i „táhnou ke dnu“. Likvidační cena jedné pozice závisí na ostatních, proto se přesná formulace mění dynamicky. Výhodou je flexibilita a lepší přežití krátkodobých pohybů; nevýhodou je riziko systematické likvidace více pozic najednou.

Vliv poplatků, funding a pojišťovacího fondu

• Poplatky za otevření/uzavření snižují efektivní kolaterál a posouvají Pliq blíže k P₀.
• Funding (periodická platba mezi long a short) se promítá do realizovaného PnL na účtu a tedy mění equity mezi intervaly. Pokud platíte funding, likvidační hranice se přibližuje.
• Pojišťovací fond a Auto-Deleveraging (ADL) ovlivňují, co se stane při bankruptcy price. Z hlediska rizikové matematiky je důležité, že likvidace nezačíná přesně při nule, ale dříve.

Elasticita rizika vůči páce

Úzký vztah mezi pákou a vzdáleností k likvidaci:

Pokud je IM = Notional / L a MM = m · Notional, pak (lineární kontrakt, isolated):

Pliq = (P₀ − Notional/L ÷ Q) / (1 − m). Protože Q = Notional / P₀, dostaneme

Pliq = (P₀ − P₀/L) / (1 − m) = P₀ · (1 − 1/L) / (1 − m)

Tedy relativní pokles k likvidaci je přibližně (1 − 1/L)/(1 − m) − 1. Při velkém L je vzdálenost k likvidaci téměř úměrná 1/L, takže dvojnásobná páka znamená přibližně poloviční „rezervu“.

Vliv volatility a velikosti svíček (gap risk)

Modely výše předpokládají plynulé ceny. Kryptotrhy však trpí gap riskem a prudkými pohyby. Při vysoké páce:

• Jeden prudký spike může přeskočit Pliq a vyvolat close-out za horší cenu.
• Futures basis a funding mohou být extrémně volatilní, čímž se mění cash flow účtu mimo pohyb mark price.

Rizikové metriky: margin ratio, liquidation buffer, VaR

• Margin Ratio: MR = MM / Equity (nebo definice burzy). Likvidace typicky při MR ≥ 100%.
• Liquidation Buffer: LB = (P₀ − Pliq)/P₀ pro long (pro short naopak). Čím vyšší LB, tím lepší odolnost.
• VaR (Value at Risk): pro odhad pravděpodobnosti dosažení Pliq v horizontu T využijte distribuční model výnosů (lognormální/EVT) a simulujte tail pravděpodobnosti.

Stupňovitá udržovací marže (tiered MM)

Burzy zvyšují m při větších notionalech. Poté se Pliq počítá po segmentech nebo s efektivním průměrem m̄(Q). Prakticky: velké pozice mají podstatně horší odolnost vůči výkyvům při stejné páce.

Short pozice: zrcadlové, ale ne identické riziko

Pro short (lineární kontrakt) plyne PnL: PnL = Q · (P₀ − P) s Q < 0 (nebo bereme absolutní velikost). Likvidace se spouští při růstu ceny. V praxi má short potenciálně neomezenou ztrátu a gap risk je často ještě vyšší během short squeeze. Vzorec pro Pliq je analogický, ale směr posunu ceny opačný:

Pliq = (P₀ + Collateral/|Q|) / (1 − m) (zanedbáváme poplatky), tedy výrazně vyšší než P₀.

Stop-loss vs. likvidace: proč SL ≠ bezpečnostní pojistka

• Stop-loss je tržní příkaz, který se aktivuje při aktivační ceně, ale realizace může nastat horší (slippage).
• Likvidace je nucené uzavření burzou s prioritou, často s penalizací a bez záruky lepší ceny.
• Správně nastavený SL musí být výrazně před Pliq, jinak se ze SL stane jen „měkká likvidace“ se stejnými důsledky.

Praktická pravidla nastavení páky a marže

1. Odvoďte pákový limit z volatility aktiva: pokud je denní σ (volatilita) 5 %, páka 10× znamená, že při 5 % adverse jste -50 % na equitě. Konzervativní strop páky: L ≤ 1 / (k · σ), kde k ≈ 2–3 podle tolerance.
2. Liquidation buffer >= 3–5 násobek běžného ATR: vyhněte se Pliq v dosahu průměrného denního rozpětí.
3. Oddělené „isolated“ koše pro strategie: minimalizujte kaskádové likvidace při cross marži.
4. Průběžné doplňování marže plánujte dopředu: určete trigger úrovně (např. MR 70 %) pro navýšení.
5. Funding sensitivity: při dlouhodobých long pozicích v býčím trhu počítejte s negativním carry; započítejte ho do výdrže.

Stresové testy pozice: krok za krokem

1. Definujte šok: např. -8 % cenový drop okamžitě (gap).
2. Přepočítejte PnL: PnL = Q · (P − P₀) (lineární), případně inverse vzorec.
3. Aktualizujte Equity: Equity' = Collateral + PnL − poplatky − funding.
4. Zkontrolujte MR: MR' = MM'/Equity' s novým notionalem = |Q| · P a případným tiered m.
5. Ověřte „distance-to-liquidation“: DTL = (P − Pliq)/P pro long (absolutní hodnota pro short).

Vícepozicové portfolio: korelace a sdílená marže

V cross režimu sledujte portfoliový VaR a „worst-case“ korelační scénáře. Kryptoměny mají často vysoké pozitivní korelace, takže diverzifikace mezi altcoiny nemusí snížit riziko maržové výzvy. Zvažte hedging (např. short na index/perpetual) ke snížení čistého beta rizika.

Implementační detaily burzy, které mění čísla

• Mark price může být TWAP z více burz; likvidace se spouští podle něj, nikoli podle poslední obchodní ceny.
• Skokové změny tieru při zvětšení pozice mohou okamžitě přiblížit Pliq.
• Partial liquidation: některé burzy nejprve zmenší pozici o část, čímž se dočasně vzd